Принцип отражения (винеровский процесс) - Reflection principle (Wiener process)

Моделирование винеровского процесса (черная кривая). Когда процесс достигает точки пересечения в а= 50 при т${\displaystyle \approx }$3000, как исходный процесс, так и его отражение (красная кривая) относительно а= 50 строк (синяя линия). После точки пересечения и черная, и красная кривые имеют одинаковое распределение.

В теории вероятность за случайные процессы, то принцип отражения для Винеровский процесс утверждает, что если путь винеровского процесса ж(т) достигает значения ж(s) = а вовремя т = s, то последующий путь после времени s имеет то же распределение, что и отражение последующего пути относительно значения а.^[1] Более формально принцип отражения относится к лемме о распределении супремума винеровского процесса или броуновского движения. Результат связывает распределение супремума броуновского движения во времени т распределению процесса по времени т. Это следствие сильное марковское свойство броуновского движения.

Заявление

Если ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$ это винеровский процесс, и ${\displaystyle a>0}$ является порогом (также называемым точкой пересечения), то в лемме говорится:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a)}$

Предполагая ${\displaystyle W(0)=0}$ , из-за непрерывности винеровского процесса, каждый путь (одна выборочная реализация) винеровского процесса на (0, t), который заканчивается или превышает значение / уровень / порог / точку пересечения 'a' за время t (${\displaystyle W(t)\geq a}$) должно было пересечь порог 'а' (${\displaystyle W(t_{a})=a)}$) когда-то раньше ${\displaystyle t_{a}\leq t}$ в первый раз . (Он может пересекать уровень 'a' несколько раз на интервале (0, t), мы берем самый ранний.) Для каждого такого пути вы можете определить другой выбранный путь винеровского процесса W 'на (0, t), который отражается или вертикально перевернутый на подинтервале ${\displaystyle (t_{a},t)}$ симметрично относительно уровня 'a' от исходного пути. ( ${\displaystyle a-W'(t)=W(t)-a}$ ) Этот отраженный путь также достиг значения ${\displaystyle W'(t_{a})=a}$ на интервале (0, t) и также является винеровским процессом или броуновским движением. Как исходный, так и отраженный пути образуют набор путей, которые достигают значения «a» на (0, t), и их вдвое больше, чем тех, которые заканчиваются на пороговом значении «a» или выше (только исходный путь) в момент времени t. Если каждый путь равновероятен (представьте себе симметричное случайное блуждание от 0 по деревьям), то достижение порога «а» в любой момент времени на (0, t) в два раза выше, чем достижение порога «а» или выше в момент времени t. Как насчет путей, которые достигают уровня 'a' на (0, t), а затем заканчиваются где-то на значении ${\displaystyle W(t)<a}$ в то время t? Они учтены? Да. Существуют именно те отраженные пути, которые учитываются при подсчете количества путей, достигших только порога «а», и их ровно столько, сколько тех, которые оказались выше порога «а» в момент времени t. Как только винеровский процесс достигнет порога «а», то из-за симметрии с равной вероятностью (p = 0,5) он окажется выше или ниже порога «а» в любой момент времени t в будущем. Итак, условная вероятность:${\displaystyle P(W(t)\geq a|W(t_{a})=a)=0.5}$.Путь с ${\displaystyle W(t)<a}$ которые никогда не достигают порога «а», никогда не рассматриваются.

В более сильной форме принцип отражения гласит, что если ${\displaystyle \tau }$ это время остановки то отражение винеровского процесса, начиная с ${\displaystyle \tau }$, обозначенный ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, также является винеровским процессом, где:

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

и индикаторная функция ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{if }}t\leq \tau \\0,&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$ и ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$определяется аналогично. Из более сильной формы следует исходная лемма, выбирая ${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$.

Доказательство

Самое раннее время остановки для достижения пункта пересечения а, ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$время остановки почти наверняка ограничено. Затем мы можем применить сильное марковское свойство, чтобы вывести, что относительный путь, следующий за ${\displaystyle \tau _{a}}$, данный ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, также является простым броуновским движением, не зависящим от ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$. Тогда распределение вероятностей в последний раз ${\displaystyle W(s)}$ находится на пороге или выше ${\displaystyle a}$ во временном интервале ${\displaystyle [0,t]}$ можно разложить как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}}$.

Посредством башня собственности за условные ожидания, второй член сводится к:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$

поскольку ${\displaystyle X(t)}$ стандартное броуновское движение, не зависящее от ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ и имеет вероятность ${\displaystyle 1/2}$ быть меньше чем ${\displaystyle 0}$. Доказательство леммы завершается подстановкой его во вторую строку первого уравнения.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}}$.

Последствия

Принцип отражения часто используется для упрощения распределительных свойств броуновского движения. Рассматривая броуновское движение на ограниченном интервале ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$ то принцип отражения позволяет доказать, что положение максимумов ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, удовлетворяющий ${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$, имеет распределение арксинусов. Это один из Арксиновые законы Леви.^[3]

Рекомендации

1. Джейкобс, Курт (2010). Стохастические процессы для физиков. Издательство Кембриджского университета. С. 57–59. ISBN  9781139486798.
2. Mörters, P .; Перес, Ю. (2010) Броуновское движение, ЧАШКА. ISBN  978-0-521-76018-8
3. Леви, Поль (1940). "Sur sures processus stochastiques homogènes". Compositio Mathematica. 7: 283–339. Получено 15 февраля 2013.