Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении - Kolmogorov–Arnold representation theorem

В реальный анализ и теория приближения, то Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении (или же теорема суперпозиции) утверждает, что каждый многомерный непрерывный функция можно представить как суперпозицию непрерывных функций одной переменной. Он решил более ограниченную, но более общую форму Тринадцатая проблема Гильберта.^[1][2]

Работы Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд установлено, что если ж является многомерной непрерывной функцией, то ж можно записать как конечное сочинение непрерывных функций одной переменной и бинарная операция из добавление.^[3] В частности,

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right)}$.

Конструктивные доказательства и даже более конкретные конструкции можно найти в.^[4]

В каком-то смысле они показали, что единственной истинной многомерной функцией является сумма, поскольку любая другая функция может быть записана с использованием одномерный функции и суммирование.^[5]

История

Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении тесно связана с 13-я проблема Гильберта. В его Париж лекция в Международный конгресс математиков в 1900 г., Дэвид Гильберт сформулирован 23 задачи которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики.^[6] 13-я из этих задач касалась решения общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 решение может быть вычислено по формулам, содержащим только радикалы и арифметические операции. Для более высоких заказов, Теория Галуа показывает нам, что решения алгебраических уравнений не могут быть выражены в терминах основных алгебраических операций. Из так называемого Трансформация Чирнхауса что общее алгебраическое уравнение

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$

можно перевести в форму ${\displaystyle y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\cdots +b_{1}y+1=0}$. Преобразование Чирнхауза задается формулой, содержащей только радикалы, арифметические операции и преобразования. Следовательно, решение алгебраического уравнения степени ${\displaystyle n}$ можно представить как суперпозицию функций двух переменных, если ${\displaystyle n<7}$ и как суперпозиция функций ${\displaystyle n-4}$ переменные, если ${\displaystyle n\geq 7}$. За ${\displaystyle n=7}$ решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалов и решение уравнения ${\displaystyle y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0}$.

Дальнейшее упрощение с помощью алгебраических преобразований кажется невозможным, что привело к гипотезе Гильберта о том, что «Решение общего уравнения степени 7 не может быть представлено как суперпозиция непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение Тринадцатая проблема Гильберта к представлению многомерной функции в виде суперпозиции низкоразмерных функций. В этом контексте это стимулировало многие исследования различных авторов по теории функций и другим смежным проблемам.^[7]

Варианты

Вариант теоремы Колмогорова, сокращающий количество внешних функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ связано с Джордж Лоренц.^[8] В 1962 году он показал, что внешние функции ${\displaystyle \Phi _{q}}$ можно заменить одной функцией ${\displaystyle \Phi }$. Точнее, Лоренц доказал существование функций ${\displaystyle \phi _{q,p}}$, ${\displaystyle q=0,1,\ldots ,2n}$, ${\displaystyle p=1,\ldots ,n,}$ такой, что

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right)}$.

Дэвид Спречер^[9] заменил внутренние функции ${\displaystyle \phi _{q,p}}$ одной-единственной внутренней функцией с соответствующим сдвигом в ее аргументе. Он доказал, что существуют реальные ценности ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, непрерывная функция ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, и действительная возрастающая непрерывная функция ${\displaystyle \phi \colon [0,1]\rightarrow [0,1]}$ с ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Lip} (\ln 2/\ln(2N+2))}$, за ${\displaystyle N\geq n\geq 2}$, так что

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi (x_{p}+\eta q)+q\right)}$.

Филипп А. Остранд ^[10] обобщил теорему Колмогорова о суперпозиции на компактные метрические пространства. За ${\displaystyle p=1,\ldots ,m}$ позволять ${\displaystyle X_{p}}$ быть компактными метрическими пространствами конечной размерности ${\displaystyle n_{p}}$ и разреши ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p}}$. Тогда существуют непрерывные функции ${\displaystyle \phi _{q,p}\colon X_{p}\rightarrow [0,1],q=0,\ldots ,2n,p=1,\ldots ,m}$ и непрерывные функции ${\displaystyle G_{q}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,q=0,\ldots ,2n}$ такая, что любая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\rightarrow \mathbb {R} }$ представима в виде

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m}\phi _{q,p}(x_{p})\right)}$.

Ограничения

Теорема не верна в общем случае для сложных многомерных функций, как обсуждается здесь.^[11] Кроме того, негладкость внутренних функций и их «дикое поведение» ограничивают практическое использование представления,^[12] хотя по этому поводу ведутся споры ^[13]

Смотрите также

• Универсальная аппроксимационная теорема

Рекомендации

1. Борис Александрович Хесин; Серж Л. Табачников (2014). Арнольд: плыть против течения. Американское математическое общество. п. 165. ISBN  978-1-4704-1699-7.
2. Сигео Акаси (2001). «Применение теории ϵ-энтропии к теореме Колмогорова - Арнольда о представлении», Доклады по математической физике, v. 48, pp. 19–26 DOI: 10.1016 / S0034-4877 (01) 80060-4
3. Бар-Натан, Дрор. "Десерт: 13-я проблема Гильберта в полном цвете".
4. Юрген Браун и Михаэль Грибель. «О конструктивном доказательстве теоремы Колмогорова о суперпозиции», https://link.springer.com/article/10.1007/s00365-009-9054-2
5. Перси Диаконис и Мехрдад Шахшахани, О линейных функциях линейных комбинаций (1984) стр. 180 (связь )
6. Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи». Бюллетень Американского математического общества. 8 (10): 461–462. Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3.
7. Юрген Браун, О теореме Колмогорова о суперпозиции и ее приложениях, SVH Verlag, 2010, 192 с.
8. Лоренц, Г. Г. (1962). «Метрическая энтропия, ширины и суперпозиции функций». Американский математический ежемесячный журнал. 69 (6): 469–485. Дои:10.1080/00029890.1962.11989915.
9. Дэвид А. Спречер, О структуре непрерывных функций многих переменных, Труды Американского математического общества, 115 (1965), стр. 340–355.
10. Остранд, Филипп А. (1965). «Размерность метрических пространств и проблема Гильберта 13». Бюллетень Американского математического общества. 71 (4): 619–622. Дои:10.1090 / с0002-9904-1965-11363-5.
11. Сигео Акаси. «Применение теории ϵ-энтропии к теореме Колмогорова - Арнольда о представлении», https://doi.org/10.1016/S0034-4877(01)80060-4
12. Ф. Джироси и Т. Поджио, «Представительные свойства сетей: теорема Колмогорова неактуальна», в Neural Computing, т. 1, вып. 4, стр. 465-469, декабрь 1989 г., DOI: 10.1162 / neco.1989.1.4.465.
13. Věra Kůrková. «Теорема Колмогорова актуальна», https://doi.org/10.1162/neco.1991.3.4.617

Источники

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР., 108 (1956), стр. 179–182; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 17 (1961), стр. 369–373.
• Владимир Арнольд, «О функциях трех переменных», Известия АН СССР., 114 (1957), стр. 679–681; Английский перевод: Амер. Математика. Soc. Пер., 28 (1963), стр. 51–54.

дальнейшее чтение

• С.Я. Хавинсон, Наилучшее приближение с помощью линейных суперпозиций (приблизительная номография), Переводы математических монографий AMS (1997)

внешняя ссылка

• Алгоритм глубокого машинного обучения для построения представления Колмогорова-Арнольда.