Алгебраический цикл - Algebraic cycle

В математика, алгебраический цикл на алгебраическое многообразие V является формальной линейной комбинацией подмножества из V. Это часть алгебраическая топология из V который доступен непосредственно алгебраическими методами. Понимание алгебраических циклов многообразия может дать глубокое понимание структуры этого многообразия.

Самый тривиальный случай - это циклы нулевой коразмерности, которые представляют собой линейные комбинации неприводимых компонент многообразия. Первый нетривиальный случай относится к подмногообразию коразмерности один и называется делители. Самые ранние работы по алгебраическим циклам были сосредоточены на случае дивизоров, особенно дивизоров на алгебраических кривых. Делители на алгебраические кривые - формальные линейные комбинации точек на кривой. Классические работы по алгебраическим кривым связали их с внутренними данными, такими как регулярные дифференциалы на компакте. Риманова поверхность, а также к внешним свойствам, таким как вложения кривой в проективное пространство.

В то время как дивизоры на многообразиях более высокой размерности продолжают играть важную роль в определении структуры многообразия, на многообразиях размерности два или более необходимо учитывать также циклы более высокой коразмерности. Поведение этих циклов разительно отличается от поведения делителей. Например, каждая кривая имеет постоянную N такая, что каждый делитель нулевой степени линейно эквивалентен разности двух эффективных делителей степени не выше N. Дэвид Мамфорд доказал, что на гладкой полной комплексной алгебраической поверхности S с положительным геометрический род, аналогичное утверждение для группы ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ классов рациональной эквивалентности циклов коразмерности два в S ложно.^[1] Гипотеза о положительности геометрического рода по существу означает ( Теорема Лефшеца о (1,1) -классах ), что группа когомологий ${\displaystyle H^{2}(S)}$ содержит трансцендентную информацию, и, по сути, из теоремы Мамфорда следует, что, несмотря на ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ имея чисто алгебраическое определение, он делится трансцендентной информацией с ${\displaystyle H^{2}(S)}$. С тех пор теорема Мамфорда была значительно обобщена.^[2]

Поведение алгебраических циклов входит в число наиболее важных открытых вопросов современной математики. В Гипотеза Ходжа, один из Институт математики Клэя с Задачи Премии Миллениума, предсказывает, что топология сложного алгебраического многообразия вынуждает существование определенных алгебраических циклов. В Гипотеза Тейта делает аналогичный прогноз для этальные когомологии. Александр Гротендик с стандартные гипотезы об алгебраических циклах дать достаточно циклов, чтобы построить его категорию мотивы и подразумевает, что алгебраические циклы играют жизненно важную роль в любой теории когомологий алгебраических многообразий. Наоборот, Александр Бейлинсон доказал, что существование категории мотивов влечет за собой стандартные гипотезы. Дополнительно циклы подключены к алгебраический K-теория по формуле Блоха, которая выражает группы циклов по модулю рациональной эквивалентности как когомологии K-теория связок.

Определение

Позволять Икс быть схема конечного типа над полем k. An алгебраический р-цикл на Икс является формальной линейной комбинацией

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

из р-мерный замкнутый интеграл k-подсхемы Икс. Коэффициент п_я это множественность из V_я. Набор всех р-циклы - свободная абелева группа

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],}$

где сумма ведется по замкнутым интегральным подсхемам V из Икс. Группы циклов для варьирования р вместе образуют группу

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

Это называется группа алгебраических циклов, и любой элемент называется алгебраический цикл. Цикл - это эффективный или же положительный если все его коэффициенты неотрицательны.

Замкнутые интегральные подсхемы Икс находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-схемными точками Икс под картой, которая в одном направлении переводит каждую подсхему в ее общую точку, а в другом направлении переводит каждую точку в уникальную сокращенную подсхему, поддерживаемую замыканием точки. как следствие ${\displaystyle Z_{*}X}$ можно также описать как свободную абелеву группу в точках Икс.

Цикл ${\displaystyle \alpha }$ является рационально эквивалентен нулю, написано ${\displaystyle \alpha \sim 0}$, если имеется конечное число ${\displaystyle (k+1)}$-мерные подмногообразия ${\displaystyle W_{i}}$ из ${\displaystyle X}$ и ненулевые рациональные функции ${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$ такой, что ${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$, куда ${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$ обозначает дивизор рациональной функции на W_я. Циклы, рационально эквивалентные нулю, представляют собой подгруппу ${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)}$, а группа р-циклов по модулю рациональной эквивалентности - это фактор

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

Эта группа также обозначается ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X)}$. Элементы группы

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

называются циклы на Икс. Цикл классы называются эффективный или же положительный если они могут быть представлены эффективным циклом.

Если Икс гладкая, проективная и имеет чистую размерность N, указанные группы иногда когомологически переиндексируются как

${\displaystyle Z^{N-r}X=Z_{r}X}$

и

${\displaystyle A^{N-r}X=A_{r}X.}$

В этом случае, ${\displaystyle A^{*}X}$ называется Кольцо для чау-чау из Икс потому что у него есть операция умножения, заданная продукт пересечения.

Есть несколько вариантов приведенного выше определения. Мы можем заменить целые числа другим кольцом в качестве кольца коэффициентов. Широко используется случай рациональных коэффициентов. Работа с семействами циклов по базе или использование циклов в арифметических ситуациях требует относительной настройки. Позволять ${\displaystyle \phi \colon X\to S}$, куда S является обычной нётеровой схемой. An р-цикл представляет собой формальную сумму замкнутых интегральных подсхем Икс чья относительная размерность р; здесь относительный размер ${\displaystyle Y\subseteq X}$ степень трансцендентности ${\displaystyle k(Y)}$ над ${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$ минус коразмерность ${\displaystyle {\overline {\phi (Y)}}}$ в S.

Рациональную эквивалентность можно также заменить несколькими другими, более грубыми отношения эквивалентности на алгебраических циклах. Другие интересующие отношения эквивалентности включают: алгебраическая эквивалентность, гомологическая эквивалентность для фиксированной теории когомологий (такой как сингулярные когомологии или этальные когомологии), числовая эквивалентность, а также все вышеперечисленное по модулю кручения. Эти отношения эквивалентности имеют (частично гипотетические) приложения к теории мотивы.

Плоский откат и правильный толчок вперед

Имеются ковариантная и контравариантная функториальность группы алгебраических циклов. Позволять ж : Икс → ИКС' быть картой разнообразия.

Если ж является плоский некоторой постоянной относительной размерности (т.е. все слои имеют одинаковую размерность), мы можем определить для любого подмногообразия Y ' ⊂ ИКС':

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

который по предположению имеет ту же коразмерность, что и Y ′.

Наоборот, если ж является правильный, за Y подмножество Икс продвижение вперед определяется как

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

куда п - степень продолжения функциональные поля [k(Y) : k(ж(Y))], если ограничение ж к Y является конечный и 0 в противном случае.

По линейности эти определения распространяются на гомоморфизмы абелевых групп

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

(последние в силу соглашения) являются гомоморфизмами абелевых групп. Видеть Кольцо для чау-чау для обсуждения функториальности, связанной с кольцевой структурой.

Смотрите также

• дивизор (алгебраическая геометрия)
• Относительный цикл

Рекомендации

1. Мамфорд, Дэвид, Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях, J. Math. Kyoto Univ. 9-2 (1969) 195–204.
2. Вуазен, Клэр, Кольца Чоу, разложение диагонали и топология семейств, Annals of Mathematics Studies 187, февраль 2014 г., ISBN  9780691160504.

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. Третья серия. Серия современных обзоров по математике, 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98549-7, МИСТЕР  1644323
• Гордон, Б. Брент; Льюис, Джеймс Д .; Мюллер-Стах, Стефан; Сайто, Сюдзи; Юи, Норико, ред. (2000), Арифметика и геометрия алгебраических циклов: материалы летней школы CRM, 7–19 июня 1998 г., Банф, Альберта, Канада, Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1954-8