Теорема Банаха – Мазура. - Banach–Mazur theorem

Не путать с Расстояние Банаха – Мазура или же Игра Банаха – Мазура.

В функциональный анализ, поле математика, то Теорема Банаха – Мазура. это теорема грубо говоря, что большинство хорошо воспитанный нормированные пространства находятся подпространства пространства непрерывный пути. Он назван в честь Стефан Банах и Станислав Мазур.

Заявление

Каждый настоящий, отделяемый Банахово пространство (Икс, ||⋅||) является изометрически изоморфный к закрыто подпространство C⁰([0, 1], р), пространство всех непрерывные функции от блока интервал в реальную линию.

Комментарии

С одной стороны, теорема Банаха – Мазура, кажется, говорит нам, что кажущийся обширным набор всех сепарабельных банаховых пространств не так уж велик и с ним трудно работать, поскольку сепарабельное банахово пространство - это «всего лишь» набор непрерывных путей. С другой стороны, теорема говорит нам, что C⁰([0, 1], р) - это «действительно большое» пространство, достаточно большое, чтобы вместить все возможные отделимые банаховы пространства.

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вложиться в сепарабельное пространство C⁰([0, 1], р), но для каждого банахова пространства Икс, можно найти компактный Пространство Хаусдорфа K и изометрическое линейное вложение j из Икс в космос C (K) скалярных непрерывных функций на K. Самый простой выбор - позволить K быть единичный мяч из непрерывный дуальный Икс ′, оснащенный w * -топология. Этот блок мяч K тогда компактно Теорема Банаха – Алаоглу. Вложение j вводится тем, что для каждого Икс ∈ Икс, непрерывная функция j(Икс) на K определяется

${displaystyle forall x'in K:qquad j(x)(x')=x'(x).}$

Отображение j линейна, и изометрична Теорема Хана – Банаха.

Другое обобщение было дано Клейбером и Первином (1969): метрическое пространство из плотность равный бесконечному кардиналу α изометрично подпространству C⁰([0,1]^α, р), пространство действительных непрерывных функций на товар из α копии единичного интервала.

Более сильные версии теоремы

Напишем C^k[0, 1] за C^k([0, 1], р). В 1995 году Луис Родригес-Пьяцца доказал, что изометрия я : Икс → С⁰[0, 1] можно выбрать так, чтобы любая ненулевая функция в изображение я(Икс) является нигде не дифференцируемый. Другими словами, если D ⊂ C⁰[0, 1] состоит из функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке [0, 1], тогда я можно выбрать так, чтобы я(Икс) ∩ D = {0}. Этот вывод относится к пространству C⁰[0, 1] сам, следовательно, существует линейная карта я : C⁰[0, 1] → C⁰[0, 1] это изометрия на его изображение, такое, что изображение под я из C⁰[0, 1] (подпространство, состоящее из функций, всюду дифференцируемых с непрерывной производной), пересекает D только в 0: таким образом, пространство гладких функций (относительно равномерного расстояния) изометрически изоморфно пространству нигде не дифференцируемых функций. Заметим, что (метрически неполное) пространство гладких функций плотно в C⁰[0, 1].

Рекомендации

• Бессага, Чеслав и Пелчинский, Александр (1975). Избранные темы в бесконечномерной топологии. Варшава: PWN.
• Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура». Бык. Austral. Математика. Soc. 1: 169–173. Дои:10.1017 / S0004972700041411 - через Cambridge University Press.
• Родригес-Пьяцца, Луис (1995). «Всякое сепарабельное банахово пространство изометрично пространству непрерывных нигде не дифференцируемых функций». Proc. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 123 (12): 3649–3654. Дои:10.2307/2161889. JSTOR  2161889.